Modullu tənliklərin həlli 





  • Mövzular: 120
  • Biletlər: 8
  • Online Testlər: 5
  • Hazır olan Testlər: 138
  • Test bankı cavabları: 30
  • Tarixi məlumatlar: 33

  • Online: 4 nəfər
  • Sayt:

  • 

    Modullu tənliklərin həlli

    Tarix: 20 dekabr 2016 | 19:37, Baxılıb 245
    Son Yenilənmə Tarixi: 20 dekabr 2016
    Mövzu: Birməchullu Tənliklər Və Məsələlər [15],
    Müəllif: Elçin Hüseynov

    Dəyişəni modul (və ya mütləq qiymət) daxilində olan tənlikləri həll etmək üçün modulun (və ya mütləq qiymətin) tərifindən istifadə etməklə ("Həqiqi ədədlər" mövzusuna bax) moduldan (və ya mütləq qiymətdən) azad etmək lazımdır:


    | x | = { x , x 0 o l d u q d a , x , x < 0 o l d u q d a .

    Modullu tənlikləri həll edərkən bir sıra hallarda aşağıdakı münasibətlərdən istifadə etmək əlverişli olur:

    1. a > 0 olarsa, |f(x)| = a ⇔ f(x) = ±a;
    2. a < 0 olarsa, |f(x)| = a tənliyinin həlli yoxdur.

    Burada f(x), dəyişəni modul (və ya mütləq qiymət) daxilində olan tənlikdir.

    Misal 1. |2x - 3| = 5 tənliyini həll etmək.

    İzahı:

    5 > 0 olduğundan 2x - 3 = ±5 olar. Bu tənlikləri həll edək:


    2x - 3 = 5

    2x = 5 + 3

    2x = 8

    x = 4



    2x - 3 = -5

    2x = -5 + 3

    2x = -2

    x = -1


    Deməli, x = 4 və x = -1 ədədləri |2x - 3| = 5 tənliyinin kökləridir. Beləliklə, |2x - 3| = 5 tənliyinin həllər çoxluğu {4;-1} çoxluğudur.

    Asanlıqla yoxlamaq olar ki, x = 4 və x = -1 olduqda |2x - 3| = 5 bərabərliyi doğrudur:

    • |2x - 3| = |2 · 4 - 3| = |8 - 3| = |5| = 5

    • |2x - 3| = |2 · (-1) - 3| = |-2 - 3| = |-5| = -(-5) = 5
    Misal 2. 7 + |1 - x| = 5 tənliyini həll etmək.

    İzahı:

    Verilmiş tənliyi |f(x)| = a şəklinə salaq:


    7 + |1 - x| = 5

    |1 - x| = 5 - 7

    |1 - x| = -2


    -2 < 0 olduğundan 7 + |1 - x| = 5 tənliyinin həlli yoxdur, yəni tənliyin həllər çoxluğu boş çoxluqdur. Bu belə yazılır: x ∈ ∅.

    Lakin bu üsul verilmiş tənlikdə iki və daha artıq modullu ifadə olduqda işə yaramır.

    Ümumiyyətlə, modullu tənlikləri həll etdikdə aşağıdakı kimi hərəkət etmək məqsədəuyğundur:

    1. Dəyişənin modul (və ya mütləq qiymət) daxilində olan ifadələri sıfra çevirən qiymətlərini tapmaq;
    2. Tapılmış kökləri ədəd oxunda yerləşdirib, ədəd oxunu aralıqlara ayırmaq;
    3. Hər bir aralıqda modulun (mütləq qiymətin) işarəsini (mənfi və ya müsbət) təyin etməklə alınan tənliyi həll etmək;
    4. Tapılmış kök verilmiş aralığa daxil olarsa, onu tənliyin kökü qəbul etmək, əks halda kənar kök qəbul etmək.
    Misal 3. |2x - 3| = 5 tənliyini həll etmək.

    İzahı:

    Dəyişənin modul (və ya mütləq qiymət) daxilində olan ifadəni sıfra çevirən qiymətini tapaq:


    2x - 3 = 0

    2x = 0 + 3

    2x = 3

    x = 1,5


    Deməli, dəyişənin 1,5 qiymətində modul daxilində olan ifadə sıfra çevrilir.

    Tapılmış kökü ədəd oxunda yerləşdirib, ədəd oxunu aralıqlara ayıraq:



    İki aralıq yaranır:

       1. x < 1,5 aralığı;

       2. x ≥ 1,5 aralığı.

    1) x < 1,5 halında 2x - 3 < 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |2x - 3|- = -(2x - 3) = -2x + 3 = 3 - 2x


    olur. Deməli, bu halda |2x - 3| = 5 tənliyi


    3 - 2x = 5


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    3 - 2x = 5

    -2x = 5 - 3

    -2x = 2

    x = -1



    x = -1 kökü baxılan hala uyğun x < 1,5 şərtini ödəyir. Deməli, x = -1 ədədi |2x - 3| = 5 tənliyinin köküdür.

    2) x ≥ 1,5 halında 2x - 3 ≥ 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |2x - 3|+ = 2x - 3


    olur. Deməli, bu halda |2x - 3| = 5 tənliyi


    2x - 3 = 5


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    2x - 3 = 5

    2x = 5 + 3

    2x = 8

    x = 4



    x = 4 kökü baxılan hala uyğun x ≥ 1,5 şərtini ödəyir. Deməli, x = 4 ədədi |2x - 3| = 5 tənliyinin köküdür.

    Deməli, x = -1 və x = 4 ədədləri |2x - 3| = 5 tənliyinin kökləridir. Beləliklə, |2x - 3| = 5 tənliyinin həllər çoxluğu {-1;4} çoxluğudur.

    Asanlıqla yoxlamaq olar ki, x = -1 və x = 4 olduqda |2x - 3| = 5 bərabərliyi doğrudur:


    |2x - 3| = |2 · (-1) - 3| = |-2 - 3| = |-5| = -(-5) = 5

    |2x - 3| = |2 · 4 - 3| = |8 - 3| = |5| = 5

    Misal 4. |x - 2| = 2x + 3 tənliyini həll etmək.

    İzahı:

    Dəyişənin modul (və ya mütləq qiymət) daxilində olan ifadəni sıfra çevirən qiymətini tapaq:


    x - 2 = 0

    x = 0 + 2

    x = 2


    Deməli, dəyişənin 2 qiymətində modul daxilində olan ifadə sıfra çevrilir.

    Tapılmış kökü ədəd oxunda yerləşdirib, ədəd oxunu aralıqlara ayıraq:



    İki aralıq yaranır:

       1. x < 2 aralığı;

       2. x ≥ 2 aralığı.

    1) x < 2 halında x - 2 < 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |x - 2|- = -(x - 2) = -x + 2 = 2 - x


    olur. Deməli, bu halda |x - 2| = 2x + 3 tənliyi


    2 - x = 2x + 3


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    2 - x = 2x + 3

    -x - 2x = 3 - 2

    -3x = 1
    x = 1 3



    x = − 1 3 kökü baxılan hala uyğun x < 2 şərtini ödəyir. Deməli, x = − 1 3 ədədi |x - 2| = 2x + 3 tənliyinin köküdür.

    2) x ≥ 2 halında x - 2 ≥ 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |x - 2|+ = x - 2


    olur. Deməli, bu halda |x - 2| = 2x + 3 tənliyi


    x - 2 = 2x + 3


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    x - 2 = 2x + 3

    x - 2x = 3 + 2

    -x = 5

    x = -5



    x = -5 kökü baxılan hala uyğun x ≥ 2 şərtini ödəmir. Deməli, x = -5 ədədi |x - 2| = 2x + 3 tənliyinin kökü deyil.

    Deməli, |x - 2| = 2x + 3 tənliyinin yeganə x = − 1 3 kökü var. Beləliklə, |x - 2| = 2x + 3 tənliyinin həllər çoxluğu {− 1 3 } çoxluğudur.

    Misal 5. 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyini həll etmək.

    İzahı:

    Dəyişənin modul (və ya mütləq qiymət) daxilində olan ifadələri sıfra çevirən qiymətlərini tapaq:


    x + 3 = 0     x = 0

    x = 0 - 3        

    x = -3        


    Deməli, dəyişənin -3 qiymətində modul daxilində olan x + 3 ifadəsi sıfra çevrilir, dəyişənin 0 qiymətində isə modul daxilində olan x ifadəsi sıfra çevrilir.

    Tapılmış kökləri ədəd oxunda yerləşdirib, ədəd oxunu aralıqlara ayıraq:



    Üç aralıq yaranır:

       1. x < -3 aralığı;

       2. -3 ≤ x < 0 aralığı;

       3. x ≥ 0 aralığı.

    1) x < -3 halında x + 3 < 0 və x < 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |x + 3|- = -(x + 3)

    |x|- = -x


    olur. Deməli, bu halda 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyi


    2x - (-(x + 3)) + 7 = -x - 1

    2x + (x + 3) + 7 = -x - 1

    2x + x + 3 + 7 = -x - 1


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    2x + x + 3 + 7 = -x - 1

    3x + 10 = -x - 1

    3x + x = -1 - 10

    4x = -11
    x = 11 4 = 2 3 4



    x = −2 3 4 kökü baxılan hala uyğun x < -3 şərtini ödəmir. Deməli, x = −2 3 4 ədədi 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyinin kökü deyil.

    2) -3 ≤ x < 0 halında x + 3 ≥ 0 və x < 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |x + 3|+ = x + 3

    |x|- = -x


    olur. Deməli, bu halda 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyi


    2x - (x + 3) + 7 = -x - 1

    2x - x - 3 + 7 = -x - 1


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    2x - (x + 3) + 7 = -x - 1

    2x - x - 3 + 7 = -x - 1

    x + 4 = -x - 1

    x + x = -1 - 4

    2x = -5

    x = -2,5



    x = -2,5 kökü baxılan hala uyğun -3 ≤ x < 0 şərtini ödəyir. Deməli, x = -2,5 ədədi 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyinin köküdür.

    3) x ≥ 0 halında x + 3 > 0 və x ≥ 0 olduğundan modulun tərifinə əsasən


    |x + 3|+ = x + 3

    |x|+ = x


    olur. Deməli, bu halda 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyi


    2x - (x + 3) + 7 = x - 1

    2x - x - 3 + 7 = x - 1


    şəklinə düşür. Bu xətti tənliyi həll edək:


    2x - x - 3 + 7 = x - 1

    x + 4 = x - 1

    x - x = -1 - 4

    0 = -5


    x ≥ 0 halında alınan tənliyin həllər çoxluğu boş çoxluqdur. Bu belə yazılır: x ∈ ∅.

    Deməli, 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyinin yeganə x = −2,5 kökü var. Beləliklə, 2x - |x + 3| + 7 = |x| - 1 tənliyinin həllər çoxluğu {−2,5} çoxluğudur.


    Система Orphus Mətndə qrammatik səhv var? Onu siçanla seçin və "Ctrl+Enter" düyməsini sıxın.