Viyet teoremi 





  • Mövzular: 120
  • Biletlər: 8
  • Online Testlər: 5
  • Hazır olan Testlər: 138
  • Test bankı cavabları: 30
  • Tarixi məlumatlar: 33

  • Online: 6 nəfər
  • Sayt:

  • 

    Viyet teoremi

    Tarix: 1 dekabr 2016 | 21:27, Baxılıb 264
    Son Yenilənmə Tarixi: 1 dekabr 2016
    Mövzu: Birməchullu Tənliklər Və Məsələlər [6],
    Müəllif: Elçin Hüseynov

    Viyet teoremindən istifadə edərək, ixtiyari kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini, onun əmsalları vasitəsilə ifadə etmək olar.

    Viyet teoremi. Çevrilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə götürülmüş ikinci həddin əmsalına, köklərin hasili isə sərbəst həddə bərabərdir.

    İsbatı:

    Çevrilmiş kvadrat tənliyi nəzərdən keçirək. İkinci həddin əmsalını p, sərbəst həddi isə q hərfi ilə işarə edək:


    x 2 + p x + q = 0

    Bu tənliyin D diskriminantı (p2 - 4q) - yə bərabərdir, yəni


    D = p 2 4 q

    Fərz edək ki, D > 0. Bu halda tənliyin iki kökü var:


    x 1 = p D 2 v ə x 2 = p + D 2

    Köklərin cəmini və hasilini tapaq:


    x 1 + x 2 = p D 2 + p + D 2 = 2 p 2 = p
    x 1 x 2 = p D 2 p + D 2 = ( p ) 2 ( D ) 2 4 = = p 2 D 2 4 = p 2 ( p 2 4 q ) 4 = 4 q q = q

    D = 0 olduqda x2 + px + q = 0 kvadrat tənliyinin bir kökü vardır. D = 0 olduqda kvadrat tənliyin iki bərabər kökü olduğunu şərtləşsək, onda teorem bu halda da doğrudur. Bu ondan irəli gəlir ki, D = 0 olduqda tənliyin köklərini


    x = p ± D 2

    düsturu ilə də hesablamaq olar. Teorem isbat olundu.

    İsbat olunan teorem, məşhur fransız riyaziyyatçısı Fransua Viyetin şərəfinə Viyet teorem adlanır.

    Fərz edək ki, ax2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin x1 və x2 kökləri vardır. Bununla eynigüclü olan çevrilmiş kvadrat tənlik


    x 2 + b a x + c a = 0

    şəklində olar. Viyet teoreminə əsasən


    x 1 + x 2 = b a
    x 1 x 2 = c a

    olar.

    Viyet teoreminin tərsi olan təklif də doğrudur.

    Viyet teoreminin tərsi. m və n ədədlərinin cəmi -p - yə, hasili isə q - yə bərabər olarsa, onda bu ədədlər x2 + px + q = 0 tənliyinin kökləridir.

    İsbatı:

    Şərtə görə m + n = -p, mn = q.

    Deməli, x2 + px + q = 0 tənliyini


    x 2 ( m + n ) x + m n = 0

    şəklində yazmaq olar. m ədədinin tənliyin kökü olduğunu göstərmək üçün x - in əvəzində m ədədini yazsaq, alarıq:


    m 2 ( m + n ) m + m n = m 2 m 2 m n + m n = 0

    Deməli, m ədədi tənliyin köküdür.

    Analoji olaraq, n ədədinin də tənliyin kökü olduğunu göstərmək üçün x - in əvəzində n ədədini yazsaq, alarıq:


    n 2 ( m + n ) n + m n = n 2 m n n 2 + m n = 0

    Teorem isbat olundu.

    İfadələrin çevrilməsində, sadələşdirilməsində, kəsrlərin ixtisar olunmasında kvadrat üçhədlinin vuruqlara ayrılmasının böyük əhəmiyyəti var.

    Kvadrat üçhədlinin vuruqlara ayrılması üçün teorem. Əgər x1 və x2 ədədləri ax2 + bx + c kvadrat üçhədlisinin kökləridirsə, onda


    a x 2 + b x + c = a ( x x 1 ) ( x x 2 )

    olar.

    İsbatı:

    Kvadrat üçhədlinin kökləri (x1 və x2) uyğun kvadrat tənliyin (ax2 + bx + c = 0) kökləri olduğundan çevrilmiş kvadrat tənliklər üçün Viyet teoremini tətbiq etsək, alarıq:


    a ( x 2 + b a x + c a ) = a ( x 2 ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 ) =
    = a ( x 2 x 1 x x 2 x + x 1 x 2 ) =
    = a ( x ( x x 1 ) x 2 ( x x 1 ) ) = a ( x x 1 ) ( x x 2 )

    Beləliklə, ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2). Teorem isbat olundu.


    Система Orphus Mətndə qrammatik səhv var? Onu siçanla seçin və "Ctrl+Enter" düyməsini sıxın.