Tam tənlik və onun kökləri 





  • Mövzular: 120
  • Biletlər: 8
  • Online Testlər: 5
  • Hazır olan Testlər: 138
  • Test bankı cavabları: 30
  • Tarixi məlumatlar: 33

  • Online: 8 nəfər
  • Sayt:

  • 

    Tam tənlik və onun kökləri

    Tarix: 11 noyabr 2016 | 15:25, Baxılıb 7.4min
    Son Yenilənmə Tarixi: 12 noyabr 2016
    Mövzu: Birməchullu Tənliklər Və Məsələlər [2],
    Müəllif: Elçin Hüseynov

    Tənliyin sağ və sol tərəfləri tam ifadələr ("İfadələr" mövzusuna bax) olarsa, belə tənliyə tam tənlik deyilir. Məsələn:


    5x2 + x 1 4 = 2x3 - x ( x + 1 ) 3 ;

    5(x + 1)(x - 2)(x + 3) = 8x8 + 5


    tənlikləri tam tənliklərdir. Bu tənliklərin hər birini


    5x2 + x 1 4 - 2x3 + x ( x + 1 ) 3 = 0;

    5(x + 1)(x - 2)(x + 3) - 8x8 - 5 = 0


    şəklinə salmaq olar.

    Bu tənlikləri sadələşdirib dəyişənin azalan dərəcələrinə görə düzməklə,


    -24x3 + 64x2 + 7x - 3 = 0;

    -8x8 + 5x3 + 10x2 - 25x - 35 = 0


    şəklinə gətirmək olar.

    Nəzərdən keçirdiyimiz misalların hər birində elə çevirmələr yerinə yetirirdik ki, bunlar verilmiş tənliklə eynigüclü tənliyə gətirilirdi. Nəticədə F(x) = 0 (burada F(x) - standart şəkilli çoxhədlidir) şəklində tənlik alırdıq. Ümumiyyətlə, istənilən tam tənliyi sol tərəfi standart şəkildə çoxhədli, sağ tərəfi isə sıfır olan onunla eynigüclü tənliklə əvəz etmək olar, yəni istənilən tam tənliyi F(x) = 0 şəklində göstərmək mümkündür. Burada F(x) - n dərəcəli standart şəkilli çoxhədlidir, yəni


    F(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 (an ≠ 0)


    Əgər birdəyişənli tənlik F(x) = 0 (burada F(x) - standart şəkilli çoxhədlidir) şəklində yazılmışdırsa, onda həmin çoxhədlinin dərəcəsinə ("Çoxhədlilər" mövzusuna bax) tənliyin dərəcəsi deyilir. Misal üçün, x3 - 2x + 1 = 0 tənliyi üçdərəcəli tənlikdir.

    İxtiyari tam tənliyin dərəcəsinə onunla eynigüclü F(x) = 0 (burada F(x) - standart şəkilli çoxhədlidir) şəklində tənliyin dərəcəsi deyirlər. Misal üçün,


    (x3 - 1)2 + x5 = x6 - 2


    tənliyi üçün alırıq:


    x6 - 2x3 + 1 + x5 - x6 + 2 = 0,

    x5 - 2x3 + 3 = 0


    Alınmış tənliyin, yəni x5 - 2x3 + 3 = 0 tənliyinin dərəcəsi 5 - ə bərabərdir. Deməli, onunla eynigüclü olan (x3 - 1)2 + x5 = x6 - 2 tənliyinin də dərəcəsi 5 - ə bərabərdir.

    Birdərəcli tənliyi ax + b = 0 (burada x - dəyişən, a və b hər hansı ədədlərdir, həm də a ≠ 0) şəklinə gətirmək olar. ax + b = 0 tənliyi a ≠ 0 olduqda tam tənlikdir. a ≠ 0 olduqda ax + b = 0 tənliyindən alırıq ki, x = — b a .  — b a ədədi tənliyin yeganə köküdür. Hər bir birdərəcəli tənliyin kökü olur.

    İkidərəcəli tənliyi ax2 + bx + c = 0 (burada x - dəyişən, a, b və c ədədləri hər hansı ədədlərdir, həm də a ≠ 0) şəklinə gətirmək olar. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tənliyi də tam tənlikdir. Belə tənliyin köklərinin sayı D = b2 - 4ac diskriminantından asılıdır:

    1. Əgər D > 0 olarsa, onda tənliyin iki müxtəlif kökü vardır;

      x 1 = b + D 2 a , x 2 = b D 2 a
    2. Əgər D = 0 olarsa, onda tənliyin iki bərabər kökü, yəni bir kökü vardır;

      x 1 = x 2 = b 2 a
    3. Əgər D < 0 olarsa, onda tənliyin həqiqi kökü yoxdur.

    İstənilən ikidərəcəli tənliyin ikidən çox kökü olmur. D ≥ 0 olduqda tənliyin kökünü tapmaqdan ötrü, məlum olduğu kimi, kvadrat tənliyin kökləri düsturundan istifadə edirlər:


    x 1 , 2 = b ± D 2 a

    Üçdərəcəli tənliyi ax3 + bx2 + cx + d = 0 şəklinə, dörddərəcli tənliyi ax4 + bx3 + cx3 + dx + e = 0 şəklinə və i.a. gətirmək olar (burada a,b,c, ... - hər hansı ədədlərdir, həm də a ≠ 0). İsbat etmək olar ki, üçdərəcəli tənliyin üçdən çox, dörddərəcli tənliyin dörddən çox həqiqi kökü yoxdur. Ümumiyyətlə, n - dərəcəli tənliyin n - dən çox həqiqi kökü yoxdur. Üçdərəcəli və dörddərəcli tənliklərin köklərinin tapılması üçün düsturlar (Kardano, Ferrari düsturları) məlumdur. Lakin bu düsturlar çox mürəkkəbdir və praktiki olaraq istifadə olunmur. Beşdərəcəli və daha yüksəkdərəcəli tənliklər üçün isə ümumi şəkildə köklərin tapılması düsturu yoxdur.

    Qeyd edək ki, bəzən hər hansı xüsusi üsullar işlətməklə üçdərəcəli və ya daha yüksəkdərəcəli tənlikləri həll etmək mümkün olur. Misal üçün, bəzi tənlikləri çoxhədlini vuruqlarına ayırmaqla həll etmək çətin deyil.

    Misal. x3 - 8x2 - x + 8 = 0 tənliyini həll edək.

    Tənliyin sol tərəfini vuruqlara ayıraq:


    x3 - 8x2 - x + 8 = 0,

    x2(x - 8) - (x - 8) = 0,

    (x - 8)(x2 - 1) = 0,

    (x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0


    Deməli, x3 - 8x2 - x + 8 = 0 tənliyini (x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0 şəklində yaza bilərik. Hasilin sıfra bərabər olması üçün vuruqlardan heç olmazsa biri sıfra bərabər olmalıdır. Yəni


    x - 8 = 0, x - 1 = 0, x + 1 = 0


    Buradan alırıq ki, x3 - 8x2 - x + 8 = 0 tənliyinin üç həqiqi kökü var:


    x1 = 8, x2 = 1, x3 = -1


    Bəzi hallarda tənliyin köklərinin təqribi qiymətinin tapılmasında, köklərin sayının və işarəsinin müəyyən olunmasında qrafik üsuldan istifadə etmək səmərəli olur. Misal üçün,


    x3 + x - 4 = 0


    tənliyini həll edək.

    Verilmiş tənliyi x3 = -x + 4 şəklinə salaq və eyni koordinat sistemində y = x3 və y = -x + 4 funksiyalarının qrafiklərini quraq və kəsişmə nöqtəsini (nöqtələrini) tapaq. Qrafiklər, absisi təqribi olaraq x0 ≈ 1,4 - ə bərabər olan nöqtədə kəsişir və deməli, x3 + x - 4 = 0 tənliyinin təqribi kökü 1,4 - ə bərabərdir. Qrafikdən, həmçinin, bu tənliyin birdən artıq həqiqi kökü olmadığını da görmək mümkündür, yəni tənliyin yeganə x0 ≈ 1,4 həqiqi kökü vardır.



    Qrafik üsul nəticənin yüksək dəqiqliyini təmin etmir. Buna görə əgər kökün qiymətini böyük dəqiqliklə tapmaq tələb olunursa, onda kökün qrafik üsulla həldən alınan təqribi qiymətini hesablama yolu ilə dəqiqləşdirirlər.

    Tam tənliyin köklərinin qiymətlərini dəqiqləşdirmək üçün y = f(x) funksiyasının (burada f(x) - hər hansı çoxhədlidir) qrafikinin kəsilməz xətt olmasından istifadə etmək olar. Buradan alınır ki, əgər hər hansı [a;b] aralığının uclarında funksiya müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda həmin aralığın daxilində f(x) = 0 tənliyinin kökü vardır.



    x3 + x - 4 = 0 tənliyinin kökünün tapılmış qiymətini dəqiqləşdirək. Şəkildən görünür ki, tənliyin kökü [1;2] aralığına daxildir. f(x) = x3 + x - 4 funksiyasının qiymətini x = 1 və x = 2 olduqda hesablamaqla buna əmin ola bilərik. Alarıq ki, f(1) = -2 < 0 və f(2) = 6 > 0.

    Koordinat düz xəttinin ucları 1 və 2 olan parçasını (tənliyin kökü [1;2] aralığına daxil olduğu üçün)


    1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0


    nöqtələri ilə 10 bərabər hissəyə bölək.

    x - in göstərilən qiymətlərində funksiyanın qiymətini o vaxta kimi hesablayacağıq ki, uclarında funksiyanın müxtəlif işarəli qiymətlər aldığı uzunluğu 0,1 olan aralıq alaq.

    Nəticədə alarıq ki, f(1,3) = -0,503 < 0 və f(1,4) = 0,144 > 0.

    Deməli, tənliyin kökü [1,3; 1,4] aralığına aiddir. 0,1 dəqiqliyi ilə onluq yaxınlaşma olaraq, 1,3 və 1,4 ədədlərindən hər birini götürmək olar.

    Kökün qiymətini böyük dəqiqliklə tapmaqdan ötrü yenidən koordinat düz xəttinin 1,3 və 1,4 nöqtələri ilə məhdudlaşmış hissəsini 10 bərabər hissəyə bölək və funksiyanın qiymətini x - in


    1,30; 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35; 1,36; 1,37; 1,38; 1,39; 1,40


    qiymətlərində hesablayacağıq.

    Alarıq ki, f(1,37) = -0,058647 < 0 və f(1,38) = 0,008072 > 0.

    Deməli, tənliyin kökü [1,37; 1,38] aralığına aiddir. 0,01 dəqiqliyi ilə onluq yaxınlaşma olaraq, 1,37 ədədini, yaxud 1,38 ədədini götürmək olar.

    Analoji olaraq, x3 + x - 4 = 0 tənliyinin kökünün 0,001, 0,0001 və i.a dəqiqliklə onluq yaxınlaşmasını tapmaq olar.


    Система Orphus Mətndə qrammatik səhv var? Onu siçanla seçin və "Ctrl+Enter" düyməsini sıxın.