Kompleks ədədlər haqqında 





  • Mövzular: 120
  • Biletlər: 8
  • Online Testlər: 5
  • Hazır olan Testlər: 138
  • Test bankı cavabları: 30
  • Tarixi məlumatlar: 33

  • Online: 7 nəfər
  • Sayt:

  • 

    Kompleks ədədlər haqqında

    Tarix: 21 yanvar 2016 | 11:16, Baxılıb 875
    Son Yenilənmə Tarixi: 21 yanvar 2016
    Mövzu: Kompleks ədədlər haqqında,
    Müəllif: Elçin Hüseynov

    Kompleks ədədlər ideyası 3 və 4 dərəcəli tənliklərin həlli prosesində XVI əsr italyan riyaziyyatçılarında yaranmışdı.

    x3 + px + q = 0 şəklində tənlikləri həll etmək üçün düstur çıxarılmışdı:


    x = q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + q 2 q 2 4 + p 3 27 3

    bu düsturu Kordano düsturu adlandırırdılar. q 2 4 + p 3 27 < 0 olarsa, onda q 2 4 + p 3 27 ifadəsinin mənası yoxdur. Lakin belə məlum oldu ki, bu halda da a ± b (burada b < 0) şəklində ifadələr üzərində əməlləri adi qaydalarda apardıqda göstərilən düsturla x3 + px + q = 0 tənliyinin həqiqi köklərini tapmaq olar. Misal üçün, 2 + -3 və 2 - -3 ifadələrini belə vururlar:


    (2 + -3) · (2 - -3) = 22 - (-3)2 = 4 - (-3) = 7


    Sonralar a ± b (burada b < 0) şəklində ədədlər kompleks ədədlər adlandırıldı.

    Kompleks ədədlər üzərində formal əməlləri Bombelli daxil etmişdir. Sonralar həmin ədədləri a + b-1 şəklində yazmağa, həm də -1 ifadəsini xəyali vahid adlandırmağa başladılar.

    L. Eyler xəyali vahidi i hərfi ("təsəvvür olunan", yaxud "xəyali" mənasını verən imaqiner süzünün ilk hərfi) ilə işarə etmişdir.

    Beləliklə, tərifə görə xəyali vahid — kvadratı -1 - ə bərabər olan "ədəddir", yəni i2 = -1.

    Kompleks ədədlər nəzəriyyəsinin ilk müddəaları aşağıdakılardan ibarətdir.

    Kompleks ədəd a + bi (burada a və b həqiqi ədədlərdir) şəklində ifadəyə deyirlər. Bu halda a kompleks ədədin həqiqi hissəsi, b isə xəyali hissəsi adlandırılır.

    Əgər a1 = a2 və b1 = b2 olarsa, onda a1 + b1i və a2 + b2i kompleks ədədlərinə bərabər kompleks ədədlər deyirlər.

    b = 0 olarsa, a + bi kompleks ədədi a - ya bərabər olan həqiqi ədəddir. Əgər b ≠ 0 olarsa, onda a + bi kompleks ədədinə xəyali ədəd, xüsusi halda a = 0 olduqda isə xalis xəyali ədəd deyilir.

    Əgər a1 + b1i və a2 + b2i kompleks ədədlərini çoxhədliləri toplama və vurma qaydasında toplayıb və vurub, sonra i2 - nı -1 ilə əvəz etsək, nəticədə alacağımız ifadələrə uyğun olaraq, həmin ədədlərin cəmi və hasili deyirlər:


    (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i,

    (a1 + b1i) · (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i


    Çıxma və bölmə əməlləri müvafiq olaraq, toplama və vurma əməllərinin tərs əməlləri kimi daxil edilir. İki kompleks ədədin bərabərliyinin tərifini nəzərə almaqla


    (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i, a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 + a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 i


    a + bi və a - bi ədədlərinə qoşma kompleks ədəd deyirlər. Onların hasili a2 + b2 ifadəsinə bərabərdir. Bundan kompleks ədədlərin qismətini taparkən istifadə edirlər - bölünəni və böləni bölənin qoşması olan ədədə vururlar. Misal üçün:


    2 + 3 i 1 + 2 i = ( 2 + 3 i ) ( 1 2 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 2 i ) = 2 + 3 i 4 i 6 i 2 1 4 i 2 = 8 i 5 = 1 , 6 0 , 2 i

    Tərifdən çıxır ki, kompleks ədədlərin toplanması və vurulması əməllərinin yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylanma xassələri vardır.

    Kompleks ədədlər çoxluğu həqiqi ədədlər çoxluğunun genişlənməsidir.

    Həqiqi ədədlər kimi, kompleks ədədlər də hesab əməllərinə nisbətdə qapalıdır, yəni iki kompleks ədədin cəmi, fərqi, hasili və qisməti (sıfra bölmə əməli istisna olmaqla) kompleks ədəddir.

    Həqiqi ədədlərin cəbri qapalılıq xassəsi yoxdur - heç də istənilən cəbri tənliyin kökü olmur. Misal üçün, diskriminantı mənfi olan kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Həqiqi ədədlərdən fərqli olaraq, kompleks ədədlərin cəbri qapalılıq xassəsi vardır - kompleks əmsallı istənilən cəbri tənliyin kökləri vardır. Belə ki, həqiqi əmsallı ax2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin kökləri diskriminant mənfi olduqda elə həmin düsturla hesablanır:


    x = b D 2 a

    Misal üçün, x2 - 4x + 13 = 0 tənliyini həll edib, tapırıq ki, x1 = 2 - 3i və x2 = 2 + 3i.

    Beləliklə, hər bir kvadrat tənliyin kompleks ədədlər çoxluğunda iki kökü var (əgər D = 0 olarsa, onda belə hesab edirlər ki, tənliyin iki bərabər kökü var).

    A. Jirar (1595 - 1632) və R. Dekart ilk dəfə müəyyənləşdirdilər ki, istənilən cəbri tənliyin köklərinin sayı onun dərəcəsi qədərdir. Bu hökm cəbrin əsas teoremi adlandırıldı. Həmin teoremi alman riyaziyyatçısı K. Qauss isbat etdi.

    Məlumdur ki, istənilən həqiqi ədədə koordinat düz xəttinin yeganə nöqtəsi uyğundur və tərsinə koordinat düz xəttinin hər bir nöqtəsinə yeganə həqiqi ədəd uyğundur. Bu uyğunluq qarşılıqlı birqiymətlidir. Beləliklə, koordinat düz xətti üzərində xəyali kompleks ədədlər üçün yer yoxdur.

    Hər bir a + bi kompleks ədədinə koordinat müstəvisinin bir (a; b) nöqtəsi uyğun qoyulur və tərsinə, koordinat müstəvisinin hər bir (x; y) nöqtəsinə bir x + yi kompleks ədədi uyğun qoyulur.

    Belə qarşılıqlı birqiymətli uyğunluqda alınmış müstəviyə kompleks müstəvi deyirlər. Kompleks müstəvinin absis oxu üzərində həqiqi ədədlərin uyğun gəldiyi nöqtələr yerləşir, absis oxunda yerləşməyən nöqtələr isə xəyali kompleks ədədlərə uyğundur.


    Система Orphus Mətndə qrammatik səhv var? Onu siçanla seçin və "Ctrl+Enter" düyməsini sıxın.