Silsilələr haqqında 





  • Mövzular: 120
  • Biletlər: 8
  • Online Testlər: 5
  • Hazır olan Testlər: 138
  • Test bankı cavabları: 30
  • Tarixi məlumatlar: 33

  • Online: 7 nəfər
  • Sayt:

  • 

    Silsilələr haqqında

    Tarix: 23 dekabr 2015 | 14:55, Baxılıb 610
    Son Yenilənmə Tarixi: 23 dekabr 2015
    Mövzu: Silsilələr haqqında,
    Müəllif: Elçin Hüseynov

    Ədədi və həndəsi silsilələr haqqında ilk təsəvvürlər hələ qədim xalqlarda var idi. Babillilərin mixi yazılı lövhələrində və Misir papiruslarında silsilələrə aid məsələlərə və onların həll edilməsinə dair göstərişlərə təsadüf edilir.

    Əhmesin (e. ə. 2000 - ci illərdə) Qədim Misir papirusunda belə məsələ verilir: "Tutaq ki, sizə belə deyiblər: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında elə bölüşdürün ki, hər bir adamın və qonşusunun aldığı arpa paylarının fərqi 1 8 ölçüyə bərabər olsun".

    Bu məsələdə söhbət ədədi silsilədən gedir. Müasir işarələrdən istifadə edərək, məsələnin şərtini belə yazmaq olar: s10 = 10, d = 1 8 ; tapmalı: a1, a2, ... , a10.

    Bir Qədim Misir papirusunda belə məsələ verilir: "7 ev, hər bir evdə isə 7 pişik var. Hər pişik 7 siçan, hər siçan isə 7 sünbül yeyir. Hər sünbül dənələri isə əgər səpilsə, 7 ölçü taxıl verər. Evlərin, pişiklərin, siçanların və taxıl ölçülərinin cəmini tapmaq lazımdır".

    Bu məsələnin həlli 7 + 72 + 73 + 74 + 75 cəminə, yəni həndəsi silsilənin beş həddinin cəminin tapılmasına gətirilir.

    Silsilələr və onların cəmləri haqqında Qədim yunan alimləri də bilirdilər. Misal üçün, natural, cüt və tək ədədlər ardıcıllığının ilk n ədədlərinin cəmi düsturları məlum idi.

    Fiqurların sahələrini və həcmlərini tapmaq üçün Arximed (e. ə. III əsr) "atomistik metod" tətbiq etdi, bundan ötrü ona müəyyən ardıcıllığın hədlərinin cəmini tapmaq lazım gəldi. O, natural ədədlərin kvadratları cəminin düsturunu çıxartdı:


    1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

    sonsuz azalan 1 + 1 4 + 1 4 2 + ... həndəsi silsiləsinin cəminin tapılması yolunu göstərdi.

    Ədədi və həndəsi silsilənin ayrı - ayrı faktlarını Çin və Hindistan alimləri bilirdilər. Bu barədə, misal üçün, şahmatın ixtiraçısı haqqında məşhur hind əfsanəsində deyilir.

    Qədim hind əfsanəsində deyilir ki, şahmat ixtiraçısı öz ixtirası üçün mükafat olaraq, şahmat taxtasının birinci daması üçün bir buğda dənəsi, ikinci dama üçün 2 dəfə çox, yəni 2 buğda, üçüncü damaya yenə də bundan iki dəfə çox, yəni 4 buğda, bu qayda ilə 64 - cü damaya kimi buğda istəmişdi. Şahmatın ixtiraçısı nə qədər buğda dənəsi almalı idi?

    Haqqında danışılan buğda dənələrinin sayı birinci həddi 1 - ə, vuruğu isə 2 - yə bərabər olan həndəsi silsilənin altmış dörd həddinin cəmidir. Həmin cəmi S ilə işarə edək:


    S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 62 + 2 63

    Yazdığımız bərabərliyin hər iki tərəfini silsilənin vuruğuna vuraq, onda alırıq ki,


    2 S = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 62 + 2 63 + 2 64

    İkinci bərabərlikdən birinci bərabərliyi hədbəhəd çıxaq və sadələşdirmələr aparaq:


    2 S S = ( 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 62 + 2 63 + 2 64 ) ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 62 + 2 63 ) ,
    S = 2 64 1

    Hesablamaq olar ki, bu sayda buğda dənəsinin kütləsi trilyon tondan çoxdur. Bu miqdarda buğda bəşər cəmiyyətinin indiki vaxta kimi yığdığı buğdadan da çoxdur.

    Silsilə termini latınca "irəliyə hərəkət etmək" mənasını verən proqressio sözünün ifadəsidir. Proqressio terminini Roma müəllifi Boesiya (VI əsr) daxil etmiş və sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi daha geniş mənada başa düşülürdü. "Ədədi" və "həndəsi" adları silsilələrə qədim yunanların öyrəndikləri kəsilməz tənasüblər nəzəriyyəsindən keçmişdir. ak - 1 - ak = ak - ak + 1 şəklində bərabərliyə onlar kəsilməz ədədi tənasüb, b k 1 b k = b k b k + 1 bərabərliyinə isə kəsilməz həndəsi tənasüb deyirdilər. Həmin bərabərlikdən çıxır ki, ak = a k 1 + a k + 1 2  və  bk = b k 1 b k + 1 , yəni bu nisbətlərdə ədədi və həndəsi silsilələrin xarakteristik xassələri ifadə olunur.

    Ədədi silsilənin hədlərinin cəmi düsturunu qədim yunan alimi Diofant (III əsr) isbat etmişdir. Həndəsi silsilənin hədlərinin cəmi düsturu Evklidin (e. ə. III əsr) "Başlanğıclar" kitabında verilmişdir. İxtiyari ədədi silsilənin hədlərinin cəminin axtarılması qaydasına Fibbonoççinin (1202) "Abak" kitabında rast gəlirik. İstənilən sonsuz azalan həndəsi silsiləni cəmləmək üçün ümumi qaydanı N. Şuke "Ədədlər haqqında" kitabında (1484) vermişdir.

    Görkəmli alman riyaziyyatçısı K. Qauss (1777 - 1855) haqqında bir maraqlı hadisə məşhurdur. Onun riyaziyyata qabiliyyəti hələ uşaqlığından özünü biruzə vermişdi. Müəllim şagirdlərə 1 - dən 100 - ə kimi natural ədədləri toplamağı tapşırır. Kiçik Qauss həmin məsələni bir dəqiqənin içində həll edir. O dərhal duyur ki, 1 + 100, 2 + 99 və i.a. cəmləri bərabərdir. 101 - i 50 - yə, yəni həmin cəmlərin sayına vurur. Başqa sözlə, o, ədədi bərabərsizliyə xas olan qanunauyğunluğu sezmişdi.


    Система Orphus Mətndə qrammatik səhv var? Onu siçanla seçin və "Ctrl+Enter" düyməsini sıxın.